En 1907, Paul Koebe et Henri Poincaré démontraient presque simultanément le théorème d'uniformisation : Toute surface de Riemann simplement connexe est isomorphe au plan, au disque ou à la sphère.

Il a fallu tout un siècle avant d'oser énoncer ce théorème et d'en donner une démonstration convaincante, grâce aux travaux de Gauss, Riemann, Schwarz, Klein, Poincaré et Koebe (entre autres). Ce livre propose quelques points de vue sur la maturation de ce théorème.

L'évolution du théorème d'uniformisation s'est faite en parallèle avec l'apparition de la géométrie algébrique, la création de l'analyse complexe, les premiers balbutiements de l'analyse fonctionnelle, avec le foisonnement de la théorie des équations différentielles linéaires et la naissance de la topologie. Le théorème d'uniformisation est l'un des fils conducteurs du XIX^e siècle mathématique.

Il ne s'agit pas ici de décrire l'histoire d'un théorème mais de revenir sur des preuves anciennes, de les lire avec des yeux de mathématiciens modernes, de s'interroger sur la validité de ces preuves et d'essayer de compléter celles-ci en respectant autant que possible les connaissances de l'époque, voire, si cela s'avère nécessaire, en utilisant des outils mathématiques modernes qui n'étaient pas à la disposition de leurs auteurs.

Ce livre sera utile aux mathématiciens d'aujourd'hui qui souhaitent jeter un regard sur l'histoire de leur discipline. Il pourra également permettre à des étudiants de niveau master d'accéder à ces concepts si importants de la recherche contemporaine en utilisant une voie inhabituelle.